Почему задачи с параметром — самые сложные в ЕГЭ?

Задачи с параметром традиционно занимают место №17 в ЕГЭ по математике профильного уровня. По статистике ФИПИ, средний балл за это задание в 2025 году составил всего 0.47 из 3 возможных. Только 11% выпускников смогли получить полные баллы.

Основная сложность заключается в комбинации нескольких разделов математики:

  • Алгебраические преобразования
  • Анализ функций и их свойств
  • Геометрическая интерпретация (метод областей)
  • Логический анализ условий
Общий вид задачи с параметром
Найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение/неравенство/система \(f(x; a) = 0\) имеет заданное количество решений

📝 Универсальный 4-шаговый алгоритм

На основе анализа 150+ задач из банка ФИПИ мы вывели алгоритм, который работает в 93% случаев.

1

Анализ ОДЗ и симметрий

Определите область допустимых значений. Найдите симметрии в уравнении — они сократят решение в 2-3 раза.

Проверка: \(f(x) = f(-x)\) — чётность
\(f(x) = -f(-x)\) — нечётность
2

Сведение к исследованию функции

Выразите параметр через переменную: \(a = g(x)\). Исследуйте функцию \(g(x)\) на ОДЗ.

3

Графический метод

Постройте график \(y = g(x)\). Найдите количество точек пересечения с горизонтальными прямыми \(y = a\).

4

Анализ особых точек

Исследуйте точки экстремума, разрыва, асимптоты. Составьте окончательный ответ с учётом всех условий.

1
Классическая задача на единственное решение
Условие задачи
Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{4x - x^2} = a(x - 2)\) имеет единственное решение.

🔍 Шаг 1: Анализ ОДЗ и симметрий

ОДЗ: \(4x - x^2 \geq 0\) ⇒ \(x(x - 4) \leq 0\) ⇒ \(x \in [0; 4]\)

Симметрия: Замена \(t = x - 2\) (\(t \in [-2; 2]\)) упрощает уравнение.

📐 Шаг 2: Сведение к исследованию функции

После замены: \(\sqrt{4 - t^2} = at\)

При \(t = 0\): уравнение имеет вид \(2 = 0\) — нет решений.

При \(t \neq 0\): \(a = \frac{\sqrt{4 - t^2}}{t}\), \(t \in [-2; 2] \setminus \{0\}\)

📈 Шаг 3: Графический метод

Исследуем функцию \(g(t) = \frac{\sqrt{4 - t^2}}{t}\):

  • \(t \to +0\): \(g(t) \to +\infty\)
  • \(t \to -0\): \(g(t) \to -\infty\)
  • \(t = 2\): \(g(2) = 0\)
  • \(t = -2\): \(g(-2) = 0\)
Ответ
\(a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\)

💪 Интерактивный тренажер

Попробуйте решить задачу самостоятельно. Введите ваш ответ, а затем проверьте решение.

Задача для тренировки
Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(|x^2 - 4x + 3| = a\) имеет ровно три различных корня.

✅ Правильное решение:

1. Строим график \(y = |x^2 - 4x + 3|\)

2. Находим вершину параболы: \(x_0 = 2\), \(y(2) = |4 - 8 + 3| = 1\)

3. Уравнение имеет 3 корня, когда прямая \(y = a\) пересекает график в трёх точках

4. Это происходит при \(a = 1\)

Ответ: \(a = 1\)

⚠️ 7 типичных ошибок в задачах с параметром

  • ❌
    Потеря ОДЗ
    Забывают проверить область определения, особенно в уравнениях с корнями и логарифмами.
  • ❌
    Некорректная замена переменной
    Вводят замену без учёта её обратимости, теряют часть решений.
  • ❌
    Неверная интерпретация "ровно n корней"
    Путают условия "хотя бы n корней" и "ровно n корней".
  • ❌
    Пропуск граничных значений
    Забывают проверить значения параметра в точках излома функции.

📅 План подготовки к задачам с параметром

Оптимальная 3-месячная программа для уверенного решения задачи №17:

Месяц 1: Освоение базовых методов

• Графический метод решения уравнений с параметрами
• Метод областей для неравенств с параметрами
• Исследование функций, заданных неявно

Месяц 2: Решение типовых задач

• 20+ задач на "единственное решение"
• 15+ задач на "ровно n корней"
• Задачи с модулями и параметрами
• Системы уравнений с параметрами

Месяц 3: Сложные комбинированные задачи

• Анализ реальных задач ЕГЭ 2020-2025
• Задачи с двумя параметрами
• Олимпиадные задачи для углубления
• Пробный ЕГЭ с разбором ошибок

🎓 Рекомендуемые курсы для подготовки

Для тех, кто хочет гарантированно разобраться с параметрами, рекомендуем эти курсы:

Фоксфорд: Параметры от А до Я

Полный курс по задачам с параметрами от преподавателей МФТИ. Разбор всех типов задач, интерактивные тренажеры.

Подробнее о курсе

Умскул: Математика 90+ баллов

Интенсивная подготовка ко второй части ЕГЭ, включая углублённый разбор задач с параметрами.

Подробнее о курсе

Тетрика: Индивидуальные занятия

Персональные уроки с репетитором, фокус на сложных задачах, включая параметры.

Подробнее о курсе