1. Планиметрия: основные понятия и фигуры
Планиметрия — раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. В ЕГЭ 2026 планиметрические задачи встречаются в заданиях №3, №6, №8 (часть 1) и №16 (часть 2).
| Фигура | Определение | Ключевые элементы |
|---|---|---|
| Треугольник | Фигура из трех точек и трех отрезков | Стороны, углы, медианы, высоты |
| Четырехугольник | Фигура из четырех точек и четырех отрезков | Стороны, углы, диагонали |
| Окружность | Множество точек, равноудаленных от центра | Радиус, диаметр, хорда, дуга |
| Прямоугольник | Параллелограмм с прямыми углами | Стороны, диагонали (равны) |
| Квадрат | Прямоугольник с равными сторонами | Все стороны равны, углы 90° |
Основные геометрические фигуры
3 стороны, 3 угла
Сумма углов = 180°
4 равные стороны
Все углы 90°
Все точки равноудалены
от центра
треугольник
Один угол 90°
Теорема Пифагора
2. Треугольники: классификация, теоремы, формулы
| Тип треугольника | Определение | Свойства | Формулы площади |
|---|---|---|---|
| Произвольный | Любой треугольник | Сумма углов = 180° | S = ½·a·hₐ |
| Прямоугольный | Один угол = 90° | Теорема Пифагора: c² = a² + b² | S = ½·a·b |
| Равнобедренный | Две стороны равны | Углы при основании равны | S = ½·b·√(a² - b²/4) |
| Равносторонний | Все стороны равны | Все углы = 60° | S = (a²√3)/4 |
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике
где c — гипотенуза, a и b — катеты.
Теорема косинусов: для любого треугольника
Теорема синусов:
где R — радиус описанной окружности.
где p = (a+b+c)/2 — полупериметр,
R — радиус описанной окружности,
r — радиус вписанной окружности.
Дано: Треугольник со сторонами a=5, b=6, c=7.
Найти: Площадь треугольника по формуле Герона.
- Находим полупериметр: p = (5+6+7)/2 = 9
- Применяем формулу Герона:
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[9·(9-5)·(9-6)·(9-7)]
= √[9·4·3·2] = √[216] = 6√6 ≈ 14,7
Ответ: S = 6√6 ≈ 14,7
Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) — треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).
Важно для ЕГЭ: В задачах часто используются тригонометрические функции острого угла: sin α = противолежащий катет / гипотенуза, cos α = прилежащий катет / гипотенуза, tg α = противолежащий катет / прилежащий катет.
3. Окружности и круги: свойства, теоремы, формулы
| Элемент | Определение | Обозначение/Формула |
|---|---|---|
| Радиус | Расстояние от центра до любой точки окружности | r |
| Диаметр | Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр | d = 2r |
| Хорда | Отрезок, соединяющий две точки окружности | - |
| Дуга | Часть окружности между двумя точками | - |
| Сектор | Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами | S = (α/360°)·πr² |
| Сегмент | Часть круга, ограниченная хордой и дугой | S = (r²/2)·(α - sin α) |
где α — центральный угол в градусах,
r — радиус, d — диаметр.
Уравнение окружности:
где (x₀, y₀) — координаты центра.
Дано: Окружность радиусом r = 10 см, центральный угол α = 60°.
Найти: Длину дуги, соответствующей этому углу.
- Формула длины дуги: l = (πr·α)/180°
- Подставляем значения: l = (π·10·60)/180 = (600π)/180 = (10π)/3 ≈ 10,47 см
- Можно также через часть окружности: 60° = 1/6 полного круга (360°)
Длина всей окружности: C = 2π·10 = 20π ≈ 62,83 см
Длина дуги: l = C/6 = 20π/6 = 10π/3 ≈ 10,47 см
Ответ: l = 10π/3 ≈ 10,47 см
Окружность — множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
Важно для ЕГЭ: В задачах часто встречаются вписанные и описанные окружности около треугольников и четырехугольников. Радиус вписанной окружности в треугольник: r = S/p, где S — площадь, p — полупериметр. Радиус описанной окружности около треугольника: R = (a·b·c)/(4S).
4. Четырехугольники: виды, свойства, формулы
| Тип четырехугольника | Определение | Свойства | Формулы площади |
|---|---|---|---|
| Параллелограмм | Противоположные стороны параллельны | Противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали делятся пополам | S = a·hₐ |
| Прямоугольник | Параллелограмм с прямыми углами | Все углы 90°, диагонали равны | S = a·b |
| Ромб | Параллелограмм с равными сторонами | Все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам | S = ½·d₁·d₂ |
| Квадрат | Прямоугольник с равными сторонами | Все стороны равны, все углы 90°, диагонали равны и перпендикулярны | S = a² |
| Трапеция | Две стороны параллельны, две — нет | Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме | S = ½·(a+b)·h |
1. Формула площади трапеции: S = ½·(a + b)·h
2. Подставляем значения: a = 6 см, b = 10 см, h = 5 см
S = ½·(6 + 10)·5 = ½·16·5 = 8·5 = 40 см²
3. Проверка логикой:
Средняя линия: m = (6+10)/2 = 8 см
Площадь: S = m·h = 8·5 = 40 см² ✓
Правильный ответ: Б (40 см²)
5. Стереометрия: основные понятия и аксиомы
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В ЕГЭ 2026 стереометрические задачи встречаются в заданиях №5, №8 (часть 1) и №13, №14, №16 (часть 2).
- Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
- Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
- Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
- Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
| Объекты | Возможные случаи | Угол между |
|---|---|---|
| Две прямые | Скрещивающиеся, параллельные, пересекающиеся | Угол между пересекающимися или скрещивающимися |
| Прямая и плоскость | Параллельна, лежит в плоскости, пересекает | Угол между прямой и ее проекцией на плоскость |
| Две плоскости | Параллельные, пересекающиеся | Угол между перпендикулярами к линии пересечения |
Основные пространственные фигуры
Два равных основания,
боковые грани - параллелограммы
Основание - многоугольник,
боковые грани - треугольники
Два круга - основания,
боковая поверхность - прямоугольник
Круг - основание,
образующие сходятся в вершине
6. Многогранники: призмы, пирамиды, формулы объемов и площадей
| Многогранник | Определение | Формула объема | Формула площади поверхности |
|---|---|---|---|
| Призма | Два равных основания, боковые грани - параллелограммы | V = Sосн·h | Sполн = 2Sосн + Sбок |
| Прямая призма | Боковые ребра перпендикулярны основаниям | V = Sосн·h | Sбок = Pосн·h |
| Правильная призма | Прямая призма с правильным многоугольником в основании | V = Sосн·h | Sбок = Pосн·h |
| Пирамида | Основание - многоугольник, боковые грани - треугольники | V = (1/3)·Sосн·h | Sполн = Sосн + Sбок |
| Правильная пирамида | Основание - правильный многоугольник, вершина проецируется в центр основания | V = (1/3)·Sосн·h | Sбок = (1/2)·Pосн·l |
| Прямоугольный параллелепипед | Призма с прямоугольниками в основаниями и боковыми гранями | V = a·b·c | Sполн = 2(ab+bc+ac) |
| Куб | Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами | V = a³ | Sполн = 6a² |
Дано: Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a = 6 см и высотой h = 8 см.
Найти: Объем пирамиды.
- Площадь основания (квадрат): Sосн = a² = 6² = 36 см²
- Формула объема пирамиды: V = (1/3)·Sосн·h
- Подставляем значения: V = (1/3)·36·8 = (1/3)·288 = 96 см³
Ответ: V = 96 см³
Проверка: Объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой: Vпризмы = 36·8 = 288 см³, Vпирамиды = 288/3 = 96 см³ ✓
Правильная четырехугольная пирамида SABCD — пирамида, основанием которой является квадрат ABCD, а вершина S проецируется в центр основания O (точку пересечения диагоналей квадрата).
Основные формулы для правильной четырехугольной пирамиды:
- Объем: V = (1/3)·Sосн·h = (1/3)·a²·h
- Площадь боковой поверхности: Sбок = (1/2)·Pосн·l = (1/2)·4a·l = 2a·l, где l — апофема
- Площадь полной поверхности: Sполн = Sосн + Sбок = a² + 2a·l
- Связь апофемы, высоты и стороны основания: l² = h² + (a/2)²
Важно для ЕГЭ: В задачах часто требуется найти угол между боковым ребром и плоскостью основания (это угол между ребром и его проекцией на основание) или угол между боковой гранью и плоскостью основания (линейный угол двугранного угла при основании).
7. Тела вращения: цилиндр, конус, шар - формулы объемов и площадей
Определение: Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
где r — радиус основания,
h — высота цилиндра.
Определение: Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
где r — радиус основания,
h — высота конуса,
l — образующая (l² = r² + h²).
Определение: Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра.
где r — радиус шара.
1. Формула объема шара: V = (4/3)πr³
2. Подставляем значение радиуса: r = 3 см
V = (4/3)π·3³ = (4/3)π·27 = 4π·9 = 36π см³
3. Численное значение (π ≈ 3,14):
V ≈ 36·3,14 = 113,04 см³
4. Проверка размерности: r³ [см³] × безразмерные коэффициенты → V [см³] ✓
Правильный ответ: Б (36π см³ ≈ 113,04 см³)
Примечание: в ЕГЭ обычно оставляют ответ с π, но иногда просят численное значение.
Тест: 20 вопросов по геометрии для ЕГЭ 2026
Пройдите итоговый тест, чтобы проверить свои знания по планиметрии и стереометрии. Вопросы соответствуют формату и сложности заданий ЕГЭ 2026 года.
Ваш результат
Проверенные курсы для системной подготовки к ЕГЭ по математике
Чтобы закрепить успех и подготовиться ко всем заданиям ЕГЭ, рекомендуем обратиться к структурированным курсам от известных образовательных платформ.
Индивидуальные занятия с репетитором по математике. Идеально для разбора сложных тем геометрии, построения чертежей и решения стереометрических задач. Персональный подход к каждому ученику.
Перейти на сайт ТетрикиОнлайн-школа от создателей Учи.ру. Визуализация геометрических задач, интерактивные чертежи, пробный бесплатный урок с преподавателем. Подробный разбор планиметрии и стереометрии.
Перейти на сайт Учи.ДомаОптимальное соотношение цены и качества. Специализируется на интенсивной подготовке к ЕГЭ. Много практики по решению геометрических задач, включая сложные стереометрические задачи №13-16.
Перейти на сайт СоткиКрупная платформа с тысячами учеников. Все платежи проходят через официальные системы. Доступ в личный кабинет с учебными материалами по геометрии, включая видеоразборы задач с чертежами.
Перейти на сайт УмскулПремиальная платформа с 15-летней историей. Преподаватели из МГУ, МФТИ, ВШЭ. Углубленные курсы по математике с разбором сложных геометрических задач, включая доказательные задачи №16.
Перейти на сайт Фоксфорда