1. Основные понятия теории вероятностей
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. В ЕГЭ 2026 задачи на вероятность встречаются в задании №2 (базовый уровень) и задании №10 (профильный уровень).
Событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента.
- Выпадение орла при подбрасывании монеты
- Вытягивание туза из колоды карт
- Попадание в мишень при выстреле
Числовая характеристика возможности наступления события. Обозначается P(A).
P(A) = 0 — событие невозможное
P(A) = 1 — событие достоверное
Вероятность события в испытании с конечным числом равновозможных исходов:
где m — число благоприятных исходов,
n — число всех возможных исходов.
| Термин | Обозначение | Определение | Пример |
|---|---|---|---|
| Достоверное событие | U | Событие, которое обязательно произойдет | Выпадение числа от 1 до 6 при бросании игрального кубика |
| Невозможное событие | ∅ | Событие, которое не может произойти | Выпадение 7 при бросании игрального кубика |
| Противоположное событие | Ā или A' | Событие, которое происходит, когда A не происходит | Если A — "выпадение четного числа", то Ā — "выпадение нечетного числа" |
| Совместные события | A и B | События, которые могут произойти одновременно | A — "выпадение четного числа", B — "выпадение числа, кратного 3" |
| Несовместные события | A и B | События, которые не могут произойти одновременно | A — "выпадение 1", B — "выпадение 2" |
2. Основные формулы вероятности для ЕГЭ
Для несовместных событий:
Для совместных событий:
где A∪B — объединение (хотя бы одно событие),
A∩B — пересечение (оба события).
Для независимых событий:
Для зависимых событий:
где P(B|A) — условная вероятность B при условии, что A произошло.
Часто проще найти вероятность противоположного события!
Вероятность попадания в мишень 0,8. Тогда вероятность промаха:
P(промах) = 1 - 0,8 = 0,2
Схема решения задач на вероятность
Классическая, геометрическая, Бернулли, условная вероятность
Что дано? Что нужно найти? Совместны ли события?
Сложение, умножение, полная вероятность, формула Бернулли
Определить n и m, применить комбинаторику если нужно
Записать в виде десятичной дроби или обыкновенной дроби
3. Комбинаторика для расчета вероятностей
Комбинаторика помогает подсчитать количество исходов (n) и количество благоприятных исходов (m) в задачах на вероятность.
| Тип комбинации | Формула | Обозначение | Когда использовать | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Перестановки | Pₙ = n! | n! = 1×2×3×...×n | Когда важен порядок элементов, все элементы различны | Сколько способов рассадить 5 человек на 5 стульях? Ответ: 5! = 120 |
| Размещения | Aₙᵏ = n!/(n-k)! | A(n,k) | Когда важен порядок, выбираем k элементов из n | Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 без повторений? Ответ: A₄² = 12 |
| Сочетания | Cₙᵏ = n!/(k!(n-k)!) | C(n,k) или nCk | Когда порядок НЕ важен, выбираем k элементов из n | Сколько способов выбрать 3 книги из 10? Ответ: C₁₀³ = 120 |
| Размещения с повторениями | nᵏ | - | Порядок важен, элементы могут повторяться | Сколько 3-значных кодов можно составить из цифр 0-9? Ответ: 10³ = 1000 |
Условие: В лотерее 100 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность, что купленный билет окажется выигрышным?
- Всего исходов: n = 100 (все билеты)
- Благоприятных исходов: m = 5 (выигрышные билеты)
- По классическому определению: P = m/n = 5/100 = 0,05
Ответ: 0,05 или 5%
4. Теоремы и сложные вероятностные модели
Если события H₁, H₂, ..., Hₙ образуют полную группу несовместных событий, то:
где P(Hᵢ) — вероятности гипотез,
P(A|Hᵢ) — условные вероятности события A.
Пример: Есть две коробки с шарами. Вероятность выбрать первую коробку 0,6, вторую — 0,4. В первой 3 белых и 2 черных, во второй — 1 белый и 4 черных. Какова вероятность вынуть белый шар?
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A произойдет ровно k раз:
где p — вероятность успеха в одном испытании,
q = 1-p — вероятность неудачи.
Пример: Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность, что орел выпадет ровно 3 раза?
p = 0,5; q = 0,5; n = 5; k = 3
P₅(3) = C₅³ × (0,5)³ × (0,5)² = 10 × 0,125 × 0,25 = 0,3125
Хотя бы один успех:
Не менее k успехов:
Не более k успехов:
5. Типовые задачи ЕГЭ на вероятность (с решениями)
Условие: На экзамене 50 билетов, Сережа не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
- Всего исходов: n = 50 (все билеты)
- Благоприятные исходы: билеты, которые Сережа выучил: m = 50 - 7 = 43
- Вероятность: P = m/n = 43/50 = 0,86
Ответ: 0,86
Условие: Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.
- Пусть A = "кофемолка прослужит больше 1 года", P(A) = 0,92
- B = "кофемолка прослужит больше 2 лет", P(B) = 0,84
- Нужно найти P(1 меньше t меньше 2) = P(A) - P(B) = 0,92 - 0,84 = 0,08
Ответ: 0,08
Условие: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая — 65%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.
- Гипотезы: H₁ = "стекло с первой фабрики", P(H₁) = 0,35
H₂ = "стекло со второй фабрики", P(H₂) = 0,65 - Условные вероятности брака: P(брак|H₁) = 0,03; P(брак|H₂) = 0,04
- По формуле полной вероятности:
P(брак) = P(H₁)×P(брак|H₁) + P(H₂)×P(брак|H₂)
= 0,35×0,03 + 0,65×0,04 = 0,0105 + 0,026 = 0,0365
Ответ: 0,0365
6. Интерактивные задачи с проверкой
1. Всего исходов: При двух бросках кубика: 6 × 6 = 36 возможных пар (первый бросок, второй бросок).
2. Благоприятные исходы: Пары, дающие в сумме 8:
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — всего 5 благоприятных исходов.
3. Вероятность: P = благоприятные/всего = 5/36.
Правильный ответ: Б (5/36)
1. Всего способов выбрать 2 книги из 10: C₁₀² = 10!/(2!×8!) = (10×9)/(2×1) = 45.
2. Способов выбрать 2 учебника из 3: C₃² = 3!/(2!×1!) = 3.
3. Вероятность: P = благоприятные/всего = 3/45 = 1/15.
Правильный ответ: А (1/15)
1. Противоположное событие: "ни один стрелок не попал".
2. Вероятность промаха первого: 1 - 0,8 = 0,2.
Вероятность промаха второго: 1 - 0,7 = 0,3.
3. Вероятность, что оба промахнулись: 0,2 × 0,3 = 0,06 (события независимы).
4. Вероятность, что хотя бы один попал: 1 - 0,06 = 0,94.
Правильный ответ: В (0,94)
Тест: 20 вопросов по теории вероятностей для ЕГЭ 2026
Пройдите итоговый тест, чтобы проверить свои знания по теории вероятностей. Вопросы соответствуют формату и сложности заданий ЕГЭ 2026 года.
Ваш результат
Проверенные курсы для системной подготовки к ЕГЭ по математике
Чтобы закрепить успех и подготовиться ко всем заданиям ЕГЭ, рекомендуем обратиться к структурированным курсам от известных образовательных платформ.
Индивидуальные занятия с репетитором по математике. Идеально, если нужно разобрать сложную тему «с нуля» или ликвидировать конкретные пробелы. Персональный подход к каждому ученику.
Перейти на сайт ТетрикиОнлайн-школа от создателей Учи.ру. Прозрачная система оплаты, официальные чеки, пробный бесплатный урок с настоящим преподавателем. Подробный разбор тем по математике, включая теорию вероятностей.
Перейти на сайт Учи.ДомаОптимальное соотношение цены и качества. Специализируется на интенсивной подготовке к ЕГЭ. Много практики, в том числе по решению задач на вероятность и комбинаторику.
Перейти на сайт СоткиКрупная платформа с тысячами учеников. Все платежи проходят через официальные системы, предоставляется доступ в личный кабинет с учебными материалами по теории вероятностей.
Перейти на сайт УмскулПремиальная платформа с 15-летней историей. Преподаватели из МГУ, МФТИ, ВШЭ. Углубленные курсы по математике с разбором сложных тем, включая теорию вероятностей.
Перейти на сайт Фоксфорда