1. Основные виды функций: полная классификация
Функция — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие ровно один элемент другого множества (значение функции). В ЕГЭ 2026 задачи на функции встречаются в заданиях №1-12 (профильный уровень).
Элементарные функции
📐 Линейная
y = kx + b
Прямая линия
D(f):
ℝ (все действительные)
E(f):
ℝ
Нули:
x = -b/k (k≠0)
Монотонность:
Возрастает при k больше 0, убывает при k меньше 0
📈 Квадратичная
y = ax² + bx + c
Парабола
D(f):
ℝ
E(f):
[y₀, +∞) при a больше 0
(-∞, y₀] при a меньше 0
(-∞, y₀] при a меньше 0
Вершина:
x₀ = -b/(2a)
y₀ = c - b²/(4a)
y₀ = c - b²/(4a)
Направление:
Ветви вверх при a больше 0, вниз при a меньше 0
📊 Кубическая
y = ax³ + bx² + cx + d
Кубическая парабола
D(f):
ℝ
E(f):
ℝ
Перегиб:
x = -b/(3a)
Поведение:
a больше 0: (-∞, +∞) возрастает
a меньше 0: (-∞, +∞) убывает
a меньше 0: (-∞, +∞) убывает
Степенные и показательные
🔢 Степенная
y = xⁿ (n∈ℤ, n≠0)
Зависит от n
D(f):
ℝ при n больше 0 и нечетном
ℝ⁺ при n больше 0 и четном
ℝ\{0} при n меньше 0
ℝ⁺ при n больше 0 и четном
ℝ\{0} при n меньше 0
E(f):
ℝ при нечетном n
ℝ⁺ при четном n больше 0
ℝ⁺ при n меньше 0
ℝ⁺ при четном n больше 0
ℝ⁺ при n меньше 0
Четность:
Четная при четном n
Нечетная при нечетном n
Нечетная при нечетном n
📈 Показательная
y = aˣ (a больше 0, a≠1)
Экспонента
D(f):
ℝ
E(f):
(0, +∞)
Монотонность:
Возрастает при a больше 1
Убывает при 0 меньше a меньше 1
Убывает при 0 меньше a меньше 1
Асимптота:
y = 0 (ось OX)
🎯 Экспонента
y = eˣ
Экспонента eˣ
D(f):
ℝ
E(f):
(0, +∞)
Производная:
(eˣ)' = eˣ
Важное свойство:
e⁰ = 1, e¹ ≈ 2.718
Логарифмические функции
📐 Логарифмическая
y = logₐ x (a больше 0, a≠1)
Логарифмическая кривая
D(f):
(0, +∞)
E(f):
ℝ
Монотонность:
Возрастает при a больше 1
Убывает при 0 меньше a меньше 1
Убывает при 0 меньше a меньше 1
Нуль:
x = 1
🎯 Натуральный логарифм
y = ln x
ln x
D(f):
(0, +∞)
E(f):
ℝ
Производная:
(ln x)' = 1/x
Важные значения:
ln 1 = 0, ln e = 1
🔢 Десятичный логарифм
y = lg x = log₁₀ x
lg x
D(f):
(0, +∞)
E(f):
ℝ
Связь с ln:
lg x = ln x / ln 10
Важные значения:
lg 1 = 0, lg 10 = 1
Тригонометрические функции
📐 Синус
y = sin x
Синусоида
D(f):
ℝ
E(f):
[-1, 1]
Период:
T = 2π
Четность:
Нечетная: sin(-x) = -sin x
📈 Косинус
y = cos x
Косинусоида
D(f):
ℝ
E(f):
[-1, 1]
Период:
T = 2π
Четность:
Четная: cos(-x) = cos x
📊 Тангенс
y = tg x
Тангенсоида
D(f):
x ≠ π/2 + πn, n∈ℤ
E(f):
ℝ
Период:
T = π
Четность:
Нечетная: tg(-x) = -tg x
Обратные тригонометрические
🔙 Арксинус
y = arcsin x
arcsin x
D(f):
[-1, 1]
E(f):
[-π/2, π/2]
Свойство:
sin(arcsin x) = x, x∈[-1,1]
🔙 Арккосинус
y = arccos x
arccos x
D(f):
[-1, 1]
E(f):
[0, π]
Свойство:
cos(arccos x) = x, x∈[-1,1]
🔙 Арктангенс
y = arctg x
arctg x
D(f):
ℝ
E(f):
(-π/2, π/2)
Асимптоты:
y = ±π/2
🎯 Пример использования: Сравнение функций
Сравните функции f(x) = 2ˣ и g(x) = x². На каких промежутках какая функция больше?
Решение:
- При x меньше 0: 2ˣ больше 0, x² больше 0. На интервале (-∞, 0) обе функции положительны. При x = -1: 2⁻¹ = 0.5, (-1)² = 1 → x² больше 2ˣ.
- При x = 0: 2⁰ = 1, 0² = 0 → 2ˣ больше x².
- При x = 1: 2¹ = 2, 1² = 1 → 2ˣ больше x².
- При x = 2: 2² = 4, 2² = 4 → равны.
- При x = 3: 2³ = 8, 3² = 9 → x² больше 2ˣ.
- При x = 4: 2⁴ = 16, 4² = 16 → равны.
- При x больше 4: Показательная функция растет быстрее квадратичной.
Вывод: 2ˣ больше x² при x∈(0,2) и x больше 4; x² больше 2ˣ при x меньше 0 и x∈(2,4); равны при x=0,2,4.
2. Свойства функций и их исследование
| Свойство | Определение | Как исследовать | Пример |
|---|---|---|---|
| Область определения | Множество всех допустимых значений аргумента | Исключить значения, при которых функция не определена: деление на 0, корень из отрицательного числа, логарифм неположительного числа | Для y = 1/(x-2): D(f) = ℝ\{2} |
| Область значений | Множество всех значений, которые принимает функция | Найти множество всех y, для которых уравнение f(x)=y имеет решение относительно x | Для y = x²: E(f) = [0, +∞) |
| Нули функции | Значения x, при которых f(x)=0 | Решить уравнение f(x)=0 | Для y = x²-4: нули x=±2 |
| Промежутки знакопостоянства | Промежутки, где f(x) больше 0 и где f(x) меньше 0 | Решить неравенства f(x) больше 0 и f(x) меньше 0 | Для y = x²-4: f(x) больше 0 при x меньше -2 или x больше 2; f(x) меньше 0 при -2x меньше 2 |
| Четность/нечетность | f(-x)=f(x) (четная), f(-x)=-f(x) (нечетная) | Вычислить f(-x) и сравнить с f(x) | y = x² - четная; y = x³ - нечетная |
| Периодичность | Существует T≠0: f(x+T)=f(x) для всех x∈D(f) | Найти такое T (для тригонометрических функций известны периоды) | y = sin x: T = 2π; y = tg x: T = π |
| Монотонность | Возрастание/убывание на промежутках | Исследовать знак производной f'(x) | Для y = x²: убывает на (-∞,0], возрастает на [0,+∞) |
| Экстремумы | Точки максимума/минимума | Найти критические точки (f'(x)=0 или не ∃) и исследовать знак производной | Для y = x²: x=0 - точка минимума |
Алгоритм полного исследования функции
Область определения
Найти D(f), исключить "опасные" точки
Найти D(f), исключить "опасные" точки
→
Четность/периодичность
Упростить исследование, если функция обладает симметрией
Упростить исследование, если функция обладает симметрией
→
Нули и знакопостоянство
Решить f(x)=0, определить где f(x) больше 0 и f(x) меньше 0
Решить f(x)=0, определить где f(x) больше 0 и f(x) меньше 0
→
Производная и монотонность
Найти f'(x), критические точки, интервалы возрастания/убывания
Найти f'(x), критические точки, интервалы возрастания/убывания
→
Экстремумы
Определить точки максимума/минимума и значения в них
Определить точки максимума/минимума и значения в них
→
Поведение на границах
Найти пределы на ±∞ и в точках разрыва
Найти пределы на ±∞ и в точках разрыва
→
Построение графика
Использовать все полученные данные для построения
Использовать все полученные данные для построения
3. Полезные материалы и стратегии решения задач
Стратегии решения задач ЕГЭ по алгебре
Задачи №1-5 (базовые)
Простые вычисления, преобразования выражений, решение линейных и квадратных уравнений. Внимание к арифметическим ошибкам!
Задачи №6-9 (функции)
Чтение графиков, свойства функций, производные. Используйте метод интервалов для знакопостоянства.
Задачи №10-12 (анализ)
Приложения производной, задачи на экстремумы, интегралы. Геометрический смысл производной и интеграла.
Задачи №13-15 (уравнения)
Тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения. Проверка ОДЗ - обязательный этап!
Задачи №16-18 (неравенства)
Рациональные, иррациональные, показательные неравенства. Метод интервалов и замена переменной.
Задача №19 (сложная)
Задачи с параметром, исследование функций. Требует творческого подхода и глубокого понимания.
📝 Памятка: 7 золотых правил решения задач ЕГЭ
- Всегда проверяйте ОДЗ в уравнениях и неравенствах (особенно в логарифмических и дробных).
- Делайте проверку корней уравнений, особенно после возведения в квадрат или потенцирования.
- Используйте метод интервалов для решения неравенств - это самый надежный способ.
- Помните геометрический смысл производной (угловой коэффициент касательной) и интеграла (площадь).
- При решении задач с параметром рассматривайте все возможные случаи.
- В тригонометрии старайтесь использовать основные формулы и приводить к одному аргументу.
- Время на ЕГЭ ограничено - решайте сначала задачи, которые знаете лучше всего.
Практическая задача: Исследование функции
Исследуйте функцию f(x) = x³ - 3x² и постройте её график. Найдите: область определения, нули, промежутки возрастания/убывания, экстремумы.
Полное исследование функции f(x) = x³ - 3x²:
1. Область определения: D(f) = ℝ (многочлен определен на всей числовой прямой).
2. Нули функции: f(x) = 0 → x³ - 3x² = 0 → x²(x - 3) = 0 → x₁=0, x₂=3.
3. Производная: f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
4. Критические точки: f'(x) = 0 → 3x(x - 2) = 0 → x=0, x=2.
5. Исследование знака производной:
• На (-∞, 0): f'(x) больше 0 (например, при x=-1: 3·(-1)·(-3)=9 больше 0) → функция возрастает.
• На (0, 2): f'(x) меньше 0 (при x=1: 3·1·(-1)=-3 меньше 0) → функция убывает.
• На (2, +∞): f'(x) больше 0 (при x=3: 3·3·1=9 больше 0) → функция возрастает.
6. Экстремумы:
• x=0: f'(x) меняет знак с + на - → точка максимума. f(0)=0.
• x=2: f'(x) меняет знак с - на + → точка минимума. f(2)=2³-3·2²=8-12=-4.
7. Поведение на бесконечности:
lim(x→-∞) f(x) = -∞ (так как старший член x³ при x→-∞ стремится к -∞).
lim(x→+∞) f(x) = +∞.
8. Дополнительные точки для графика:
f(1)=1-3=-2, f(3)=27-27=0, f(-1)=-1-3=-4.
График: Кубическая парабола, проходящая через точки (-1,-4), (0,0) - максимум, (1,-2), (2,-4) - минимум, (3,0).
Итог:
• D(f) = ℝ
• Нули: x=0, x=3
• Возрастает на: (-∞, 0] и [2, +∞)
• Убывает на: [0, 2]
• Максимум: (0, 0)
• Минимум: (2, -4)
1. Область определения: D(f) = ℝ (многочлен определен на всей числовой прямой).
2. Нули функции: f(x) = 0 → x³ - 3x² = 0 → x²(x - 3) = 0 → x₁=0, x₂=3.
3. Производная: f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
4. Критические точки: f'(x) = 0 → 3x(x - 2) = 0 → x=0, x=2.
5. Исследование знака производной:
• На (-∞, 0): f'(x) больше 0 (например, при x=-1: 3·(-1)·(-3)=9 больше 0) → функция возрастает.
• На (0, 2): f'(x) меньше 0 (при x=1: 3·1·(-1)=-3 меньше 0) → функция убывает.
• На (2, +∞): f'(x) больше 0 (при x=3: 3·3·1=9 больше 0) → функция возрастает.
6. Экстремумы:
• x=0: f'(x) меняет знак с + на - → точка максимума. f(0)=0.
• x=2: f'(x) меняет знак с - на + → точка минимума. f(2)=2³-3·2²=8-12=-4.
7. Поведение на бесконечности:
lim(x→-∞) f(x) = -∞ (так как старший член x³ при x→-∞ стремится к -∞).
lim(x→+∞) f(x) = +∞.
8. Дополнительные точки для графика:
f(1)=1-3=-2, f(3)=27-27=0, f(-1)=-1-3=-4.
График: Кубическая парабола, проходящая через точки (-1,-4), (0,0) - максимум, (1,-2), (2,-4) - минимум, (3,0).
Итог:
• D(f) = ℝ
• Нули: x=0, x=3
• Возрастает на: (-∞, 0] и [2, +∞)
• Убывает на: [0, 2]
• Максимум: (0, 0)
• Минимум: (2, -4)
Тест: 20 вопросов по алгебре и началам анализа для ЕГЭ 2026
Пройдите итоговый тест, чтобы проверить свои знания по алгебре и началам анализа. Вопросы соответствуют формату и сложности заданий ЕГЭ 2026 года.
Прогресс:
Вопрос 1 из 20
Ваш результат
Проверенные курсы для системной подготовки к ЕГЭ по математике
Чтобы закрепить успех и подготовиться ко всем заданиям ЕГЭ, рекомендуем обратиться к структурированным курсам от известных образовательных платформ.
Тетрика
Индивидуальные занятия с репетитором по математике. Идеально, если нужно разобрать сложную тему «с нуля» или ликвидировать конкретные пробелы. Персональный подход к каждому ученику.
Перейти на сайт ТетрикиУчи.Дома
Онлайн-школа от создателей Учи.ру. Прозрачная система оплаты, официальные чеки, пробный бесплатный урок с настоящим преподавателем. Подробный разбор тем по математике, включая алгебру и анализ.
Перейти на сайт Учи.ДомаСотка
Оптимальное соотношение цены и качества. Специализируется на интенсивной подготовке к ЕГЭ. Много практики, в том числе по решению задач на производные, интегралы и уравнения.
Перейти на сайт СоткиУмскул
Крупная платформа с тысячами учеников. Все платежи проходят через официальные системы, предоставляется доступ в личный кабинет с учебными материалами по алгебре и анализу.
Перейти на сайт УмскулФоксфорд
Премиальная платформа с 15-летней историей. Преподаватели из МГУ, МФТИ, ВШЭ. Углубленные курсы по математике с разбором сложных тем, включая алгебру и математический анализ.
Перейти на сайт Фоксфорда