1. Понятие производной: определение, физический и геометрический смысл
Производная функции — одно из фундаментальных понятий математического анализа, изучаемое в заданиях №6, №11 и №14 ЕГЭ по математике профильного уровня. Понимание производной необходимо для решения задач на нахождение скорости изменения процессов, экстремумов функций и многих других прикладных задач.
Производная функции в точке x₀ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.
Производная от координаты по времени есть мгновенная скорость. Производная от скорости по времени — мгновенное ускорение. Это основа для решения физических задач в ЕГЭ.
Производная функции в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, то есть угловому коэффициенту касательной (k).
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀. Эта формула используется в задании №6 ЕГЭ.
Дано: Функция f(x) = x².
Найти: Производную в точке x₀ = 3 по определению.
- Запишем определение производной: f'(3) = lim┬(Δx→0)〖(f(3+Δx)-f(3))/Δx〗
- Вычислим f(3) = 3² = 9
- Вычислим f(3+Δx) = (3+Δx)² = 9 + 6Δx + (Δx)²
- Найдем разность: f(3+Δx)-f(3) = [9 + 6Δx + (Δx)²] - 9 = 6Δx + (Δx)²
- Составим отношение: (f(3+Δx)-f(3))/Δx = (6Δx + (Δx)²)/Δx = 6 + Δx
- Найдем предел: f'(3) = lim┬(Δx→0)(6 + Δx) = 6
Ответ: f'(3) = 6.
Проверка: По формуле производной степенной функции (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ имеем (x²)' = 2x, тогда f'(3) = 2·3 = 6 ✓
2. Основные правила дифференцирования и таблица производных
| Функция | Производная | Комментарий |
|---|---|---|
| c (константа) | 0 | Производная постоянной равна нулю |
| x | 1 | Производная линейной функции y = x |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | Степенная функция, n ∈ ℝ |
| eˣ | eˣ | Экспонента — единственная функция, производная которой равна самой функции |
| aˣ | aˣ·ln a | Показательная функция с основанием a больше 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1/x | Натуральный логарифм, x больше 0 |
| logₐ x | 1/(x·ln a) | Логарифм по основанию a, a больше 0, a ≠ 1, x больше 0 |
| sin x | cos x | Синус |
| cos x | -sin x | Косинус |
| tg x | 1/cos²x | Тангенс, x ≠ π/2 + πn |
| ctg x | -1/sin²x | Котангенс, x ≠ πn |
Эти правила позволяют находить производные сложных выражений. Правило производной произведения и частного — самые частые источники ошибок в ЕГЭ.
"Производная внешней функции, умноженная на производную внутренней". Это правило цепочки — ключ к нахождению производных сложных функций вида sin(2x), e^(x²), ln(cos x) и т.д.
Дано: Функция f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7.
Найти: f'(x).
- Применяем правило суммы/разности: (3x⁴ - 2x³ + 5x - 7)' = (3x⁴)' - (2x³)' + (5x)' - (7)'
- Выносим константы: = 3·(x⁴)' - 2·(x³)' + 5·(x)' - 0
- Применяем формулу (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹: = 3·4x³ - 2·3x² + 5·1
- Упрощаем: = 12x³ - 6x² + 5
Ответ: f'(x) = 12x³ - 6x² + 5.
1. Определяем структуру функции: Это сложная функция вида f(g(x)), где:
Внешняя функция: f(u) = sin u
Внутренняя функция: g(x) = 3x² - 2x
2. Находим производные:
f'(u) = cos u (производная синуса)
g'(x) = 6x - 2 (производная многочлена)
3. Применяем правило производной сложной функции:
f'(x) = f'(g(x))·g'(x) = cos(3x² - 2x)·(6x - 2)
4. Записываем ответ: f'(x) = (6x - 2)·cos(3x² - 2x)
Правильный ответ: В ((6x - 2)·cos(3x² - 2x))
Важно: Не забывайте умножать на производную внутренней функции — это самая частая ошибка в ЕГЭ!
3. Геометрический смысл производной: касательная, нормаль, угол наклона
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна — функция возрастает, если отрицательна — убывает.
Каноническое уравнение касательной в точке (x₀, f(x₀)). Для нахождения уравнения нужно: 1) вычислить f(x₀), 2) найти f'(x₀), 3) подставить в формулу.
Нормаль — прямая, перпендикулярная касательной. Угловые коэффициенты связаны: k_normal = -1/k_tangent. Если производная равна 0, нормаль вертикальна: x = x₀.
Дано: Функция f(x) = x³ - 3x. Точка x₀ = 2.
Найти: Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀.
- Находим f(x₀): f(2) = 2³ - 3·2 = 8 - 6 = 2. Точка касания: (2, 2).
- Находим производную: f'(x) = 3x² - 3.
- Вычисляем f'(x₀): f'(2) = 3·2² - 3 = 12 - 3 = 9. Угловой коэффициент k = 9.
- Подставляем в формулу уравнения касательной: y = 2 + 9(x - 2).
- Упрощаем: y = 2 + 9x - 18 = 9x - 16.
Ответ: Уравнение касательной: y = 9x - 16.
Проверка: Подставим x = 2: y = 9·2 - 16 = 18 - 16 = 2 — действительно проходит через точку (2, 2).
1. Записываем функцию в удобном виде: f(x) = √x = x^(1/2)
2. Находим производную:
f'(x) = (1/2)·x^(1/2 - 1) = (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x)
3. Вычисляем производную в точке x₀ = 4:
f'(4) = 1/(2√4) = 1/(2·2) = 1/4
4. Согласно геометрическому смыслу производной:
f'(x₀) = tg α, где α — угол наклона касательной
Значит, tg α = 1/4
Правильный ответ: В (1/4)
Геометрическая интерпретация: Касательная к графику функции y = √x в точке (4, 2) имеет угловой коэффициент 1/4, то есть поднимается на 1 единицу по вертикали при перемещении на 4 единицы по горизонтали.
4. Исследование функций с помощью производной: экстремумы, промежутки монотонности
| Понятие | Определение | Признак с помощью производной |
|---|---|---|
| Возрастание функции | Функция f(x) возрастает на промежутке I, если для любых x₁, x₂ ∈ I таких, что x₁ меньше x₂, выполняется f(x₁) меньше f(x₂) | f'(x) больше 0 на I |
| Убывание функции | Функция f(x) убывает на промежутке I, если для любых x₁, x₂ ∈ I таких, что x₁ меньше x₂, выполняется f(x₁) больше f(x₂) | f'(x) меньше 0 на I |
| Точка максимума | Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется f(x) меньше f(x₀) | f'(x) меняет знак с "+" на "-" при переходе через x₀ |
| Точка минимума | Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется f(x) больше f(x₀) | f'(x) меняет знак с "-" на "+" при переходе через x₀ |
| Критическая точка | Точка, в которой производная равна нулю или не существует | f'(x₀) = 0 или f'(x₀) не существует |
- Найти область определения функции
- Найти производную f'(x)
- Найти критические точки (f'(x) = 0 или не существует)
- Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках
- Сделать выводы о промежутках возрастания/убывания и точках экстремума
- Найти значения функции в точках экстремума
Этот алгоритм используется в задании №11 ЕГЭ. Важно правильно определять знаки производной и не путать критические точки с точками экстремума.
Недостаточно найти точки, где производная равна нулю. Нужно обязательно исследовать знак производной слева и справа от критической точки.
Дано: Функция f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5.
Найти: Промежутки монотонности и точки экстремума.
- Область определения: D(f) = ℝ.
- Находим производную: f'(x) = 3x² - 6x - 9.
- Приравниваем производную к нулю: 3x² - 6x - 9 = 0 ⇒ x² - 2x - 3 = 0.
- Решаем квадратное уравнение: D = 4 + 12 = 16, x₁ = (2 - 4)/2 = -1, x₂ = (2 + 4)/2 = 3. Критические точки: x = -1 и x = 3.
- Исследуем знаки производной на промежутках:
- (-∞; -1): f'(-2) = 3·4 - 6·(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 больше 0 → функция возрастает
- (-1; 3): f'(0) = 0 - 0 - 9 = -9 меньше 0 → функция убывает
- (3; +∞): f'(4) = 3·16 - 6·4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 больше 0 → функция возрастает
- Определяем точки экстремума:
- При переходе через x = -1 производная меняет знак с "+" на "-" ⇒ x = -1 - точка максимума
- При переходе через x = 3 производная меняет знак с "-" на "+" ⇒ x = 3 - точка минимума
- Находим значения функции в точках экстремума:
- f(-1) = (-1)³ - 3·(-1)² - 9·(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 (максимум)
- f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 (минимум)
Ответ: Функция возрастает на (-∞; -1] и [3; +∞), убывает на [-1; 3]. Точка максимума: (-1; 10), точка минимума: (3; -22).
5. Первообразная и неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I, если для всех x ∈ I выполняется равенство F'(x) = f(x).
Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx, где C — произвольная постоянная.
| Функция f(x) | Первообразная F(x) | Комментарий |
|---|---|---|
| 0 | C | Константа |
| 1 | x + C | |
| xⁿ (n ≠ -1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | Формула не работает для n = -1 |
| 1/x | ln|x| + C | Для x больше 0 можно без модуля |
| eˣ | eˣ + C | Экспонента |
| aˣ (a больше 0, a ≠ 1) | aˣ/ln a + C | Показательная функция |
| sin x | -cos x + C | Синус |
| cos x | sin x + C | Косинус |
| 1/cos²x | tg x + C | Тангенс |
| 1/sin²x | -ctg x + C | Котангенс |
| 1/√(1-x²) | arcsin x + C | Арксинус |
| 1/(1+x²) | arctg x + C | Арктангенс |
Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Чтобы проверить, является ли функция F(x) первообразной для f(x), достаточно продифференцировать F(x). Если получится f(x) — ответ верный.
Дано: ∫(3x² - 2x + 5)dx
Найти: Множество всех первообразных.
- Используем свойство линейности: ∫(3x² - 2x + 5)dx = ∫3x²dx - ∫2xdx + ∫5dx
- Выносим константы: = 3∫x²dx - 2∫xdx + 5∫dx
- Применяем табличные формулы: = 3·(x³/3) - 2·(x²/2) + 5·x + C
- Упрощаем: = x³ - x² + 5x + C
- Проверка: (x³ - x² + 5x + C)' = 3x² - 2x + 5 ✓
Ответ: x³ - x² + 5x + C, где C ∈ ℝ.
6. Определенный интеграл: формула Ньютона-Лейбница, площадь фигуры
Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] равен разности значений первообразной F(x) в точках b и a. Обозначение: F(x)|_a^b = F(b) - F(a).
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) ≥ 0, прямыми x = a, x = b и осью Ox. Если f(x) ≤ 0, площадь S = |∫_a^b f(x)dx|.
Площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x) на отрезке [a, b]. Если f(x) ≥ g(x) на [a, b], то S = ∫_a^b (f(x) - g(x))dx.
Дано: ∫_1^3 (2x² - 3x + 1)dx
Найти: Значение интеграла.
- Находим первообразную: F(x) = ∫(2x² - 3x + 1)dx = (2x³/3) - (3x²/2) + x + C
- Применяем формулу Ньютона-Лейбница: ∫_1^3 (2x² - 3x + 1)dx = F(3) - F(1)
- Вычисляем F(3): F(3) = (2·27/3) - (3·9/2) + 3 = 18 - 13,5 + 3 = 7,5
- Вычисляем F(1): F(1) = (2·1/3) - (3·1/2) + 1 = 2/3 - 1,5 + 1 = 2/3 - 0,5 = 2/3 - 1/2 = (4-3)/6 = 1/6 ≈ 0,1667
- Находим разность: F(3) - F(1) = 7,5 - 1/6 = 7,5 - 0,1667 = 7,3333
- Точное значение: 7,5 - 1/6 = 15/2 - 1/6 = (45 - 1)/6 = 44/6 = 22/3
Ответ: ∫_1^3 (2x² - 3x + 1)dx = 22/3 ≈ 7,333.
Дано: Фигура ограничена линиями y = x², y = 0, x = 1, x = 2.
Найти: Площадь фигуры.
- Это криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком функции y = x², снизу осью Ox, слева прямой x = 1, справа прямой x = 2.
- Функция x² ≥ 0 на [1, 2], поэтому площадь S = ∫_1^2 x² dx
- Находим первообразную: F(x) = x³/3
- Применяем формулу Ньютона-Лейбница: S = F(2) - F(1) = (2³/3) - (1³/3) = 8/3 - 1/3 = 7/3
Ответ: Площадь фигуры равна 7/3 ≈ 2,333 квадратных единиц.
Геометрическая интерпретация: Площадь под параболой y = x² от x = 1 до x = 2.
1. Находим первообразную для sin x:
∫ sin x dx = -cos x + C ⇒ F(x) = -cos x
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
∫_0^π sin x dx = F(π) - F(0) = (-cos π) - (-cos 0)
3. Вычисляем значения:
cos π = -1 ⇒ -cos π = -(-1) = 1
cos 0 = 1 ⇒ -cos 0 = -1
4. Находим разность:
F(π) - F(0) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
Правильный ответ: В (2)
Геометрическая интерпретация:
∫_0^π sin x dx равен площади под одним "горбом" синусоиды на отрезке [0, π]. Эта площадь равна 2 (можно проверить, что площадь полуокружности радиуса 1 также равна π/2 ≈ 1,57, но здесь немного больше).
Интересный факт: ∫_0^(2π) sin x dx = 0, так как площади положительных и отрицательных частей компенсируют друг друга.
7. Типовые задачи ЕГЭ на производные и интегралы (№6, №11, №14)
Условие: К графику функции f(x) = 2x³ - 3x² + 4 проведите касательную в точке с абсциссой x₀ = 1. Найдите ординату точки пересечения этой касательной с осью Oy.
- Находим f(x₀): f(1) = 2·1³ - 3·1² + 4 = 2 - 3 + 4 = 3. Точка касания: (1, 3).
- Находим производную: f'(x) = 6x² - 6x.
- Вычисляем f'(x₀): f'(1) = 6·1² - 6·1 = 6 - 6 = 0. Угловой коэффициент k = 0.
- Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) = 3 + 0·(x - 1) = 3.
- Касательная горизонтальна: y = 3. Она пересекает ось Oy в точке (0, 3).
Ответ: 3.
Особенность: Нулевая производная означает горизонтальную касательную. В точке x₀ = 1 функция имеет экстремум или точку перегиба.
Условие: Найдите все значения параметра a, при которых функция f(x) = x³ - 3ax² + 12x + 5 возрастает на всей числовой прямой.
- Функция возрастает на ℝ, если f'(x) ≥ 0 для всех x ∈ ℝ.
- Находим производную: f'(x) = 3x² - 6ax + 12.
- Квадратичная функция 3x² - 6ax + 12 ≥ 0 для всех x, если ее дискриминант неположителен (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² положителен).
- Вычисляем дискриминант: D = (-6a)² - 4·3·12 = 36a² - 144.
- Решаем неравенство: D ≤ 0 ⇒ 36a² - 144 ≤ 0 ⇒ 36a² ≤ 144 ⇒ a² ≤ 4 ⇒ -2 ≤ a ≤ 2.
Ответ: a ∈ [-2; 2].
Важно: Знак "≥" в условии f'(x) ≥ 0 позволяет касательной быть горизонтальной в отдельных точках. Если бы требовалось строгое возрастание, было бы f'(x) больше 0.
Условие: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 2 - x.
- Находим точки пересечения графиков: x² = 2 - x ⇒ x² + x - 2 = 0 ⇒ D = 1 + 8 = 9, x₁ = (-1 - 3)/2 = -2, x₂ = (-1 + 3)/2 = 1.
- На отрезке [-2; 1] прямая y = 2 - x лежит выше параболы y = x², так как при x = 0: 2 - 0 = 2 больше 0 = 0².
- Площадь S = ∫_(-2)^1 [(2 - x) - x²] dx = ∫_(-2)^1 (2 - x - x²) dx
- Находим первообразную: F(x) = 2x - x²/2 - x³/3
- Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница: S = F(1) - F(-2)
- F(1) = 2·1 - 1²/2 - 1³/3 = 2 - 0,5 - 1/3 = 2 - 0,5 - 0,333 = 1,167
- F(-2) = 2·(-2) - (-2)²/2 - (-2)³/3 = -4 - 4/2 - (-8/3) = -4 - 2 + 8/3 = -6 + 2,667 = -3,333
- S = 1,167 - (-3,333) = 4,5
- Точное значение: 1,167 = 7/6, -3,333 = -10/3, S = 7/6 - (-10/3) = 7/6 + 20/6 = 27/6 = 9/2 = 4,5
Ответ: 4,5 квадратных единиц.
8. Интерактивный практикум: задачи ЕГЭ прошлых лет
1. Условие касания: В точке касания x₀ выполняются два условия:
а) Значения функций равны: f(x₀) = 8x₀ - 9
б) Значения производных равны: f'(x₀) = 8 (угловой коэффициент касательной)
2. Находим производную: f'(x) = 3x² + 2x + 8
3. Решаем второе условие: f'(x₀) = 8 ⇒ 3x₀² + 2x₀ + 8 = 8 ⇒ 3x₀² + 2x₀ = 0 ⇒ x₀(3x₀ + 2) = 0
Получаем два возможных значения: x₀ = 0 или x₀ = -2/3
4. Проверяем первое условие для x₀ = 0:
f(0) = 0³ + 0² + 8·0 - 9 = -9
Значение касательной: 8·0 - 9 = -9
Условие выполняется: -9 = -9 ✓
5. Проверяем первое условие для x₀ = -2/3:
f(-2/3) = (-2/3)³ + (-2/3)² + 8·(-2/3) - 9 = -8/27 + 4/9 - 16/3 - 9 = -8/27 + 12/27 - 144/27 - 243/27 = (-8+12-144-243)/27 = -383/27 ≈ -14,185
Значение касательной: 8·(-2/3) - 9 = -16/3 - 9 = -16/3 - 27/3 = -43/3 ≈ -14,333
Условие не выполняется: -14,185 ≠ -14,333 ✗
6. Вывод: Только x₀ = 0 удовлетворяет обоим условиям.
Правильный ответ: В (0)
Важно: Всегда проверяйте оба условия касания (равенство функций и производных), иначе можно получить посторонние корни.
1. Находим точки пересечения графиков:
4 - x² = x + 2 ⇒ -x² - x + 2 = 0 ⇒ x² + x - 2 = 0
Дискриминант: D = 1 + 8 = 9
Корни: x₁ = (-1 - 3)/2 = -2, x₂ = (-1 + 3)/2 = 1
Точки пересечения: (-2, 0) и (1, 3)
2. Определяем, какая кривая выше на отрезке [-2; 1]:
Проверим в точке x = 0:
Парабола: y = 4 - 0² = 4
Прямая: y = 0 + 2 = 2
Парабола лежит выше прямой (4 больше 2)
3. Вычисляем площадь:
S = ∫_(-2)^1 [(4 - x²) - (x + 2)] dx = ∫_(-2)^1 (2 - x - x²) dx
4. Находим первообразную:
F(x) = 2x - x²/2 - x³/3
5. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
S = F(1) - F(-2)
F(1) = 2·1 - 1²/2 - 1³/3 = 2 - 0,5 - 1/3 = 2 - 0,5 - 0,333 = 1,167
F(-2) = 2·(-2) - (-2)²/2 - (-2)³/3 = -4 - 4/2 - (-8/3) = -4 - 2 + 8/3 = -6 + 2,667 = -3,333
S = 1,167 - (-3,333) = 4,5
Правильный ответ: Б (4,5)
Геометрическая проверка: Площадь можно приблизительно оценить как площадь трапеции плюс площадь под параболой, что дает величину порядка 4-5 единиц.
Финальный тест: 15 вопросов по производным и интегралам (ЕГЭ 2026)
Пройдите итоговый тест, чтобы оценить свою готовность к заданиям по производным и интегралам в ЕГЭ 2026. Вопросы охватывают все ключевые темы: от основных определений до решения сложных задач с параметрами.
Ваш результат
Системная подготовка к ЕГЭ 2026 по математике с лучшими онлайн-школами
Производные и интегралы — лишь один из разделов математики, необходимых для успешной сдачи ЕГЭ. Для комплексной подготовки, систематизации знаний и отработки всех типов заданий рекомендуем обратиться к проверенным образовательным платформам.
Индивидуальный подход к каждому ученику с персональным планом подготовки. Идеально для глубокого разбора сложных тем, включая производные и интегралы с параметрами. Преподаватель уделяет внимание именно вашим пробелам.
Узнать подробнее о ТетрикеОнлайн-школа от создателей образовательной платформы Учи.ру. Интерактивные задания, геймификация и индивидуальная траектория обучения. Поможет понять математический анализ через визуализацию и практику.
Узнать подробнее об Учи.ДомаОптимальное соотношение цены и качества с фокусом на практической подготовке к экзамену. Много заданий формата ЕГЭ, в том числе по производным и интегралам. Доступно с любого устройства в удобное время.
Узнать подробнее о СоткеКрупнейшая специализированная платформа по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ с собственной методикой. Структурированные курсы по математике, включая все нюансы математического анализа. Поддержка кураторов 24/7.
Узнать подробнее об УмскулПремиальная платформа с преподавателями из ведущих вузов России. Углублённые курсы по математике, разбор сложнейших заданий, включая производные и интегралы с параметрами и задачи повышенной сложности №14, №17.
Узнать подробнее о Фоксфорде