Что такое вектор? Основные определения
Вектор — это направленный отрезок, который имеет начало (точку приложения) и конец.
Вектор характеризуется:
- Длиной (модулем) — длиной отрезка
- Направлением — направлением от начала к концу
- Равными векторами — векторами, имеющими одинаковую длину и направление
- Противоположными векторами — векторами, имеющими одинаковую длину, но противоположное направление
→ Обозначение вектора
Вектор обозначается либо двумя заглавными буквами (начало и конец) со стрелкой сверху: \(\vec{AB}\), либо одной строчной буквой: \(\vec{a}\).
↔️ Нулевой вектор
Вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна 0, направление не определено. Обозначается \(\vec{0}\).
📏 Коллинеарные векторы
Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. Могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
📐 Компланарные векторы
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости. В планиметрии (9 класс) все векторы компланарны.
Координаты вектора на плоскости
Если известны координаты начала \(A(x_1; y_1)\) и конца \(B(x_2; y_2)\) вектора \(\vec{AB}\), то координаты вектора находятся по формуле:
Даны точки \(A(2; 3)\) и \(B(5; 7)\). Найдите координаты вектора \(\vec{AB}\).
Решение: \(\vec{AB} = (5 - 2; 7 - 3) = (3; 4)\)
Длина (модуль) вектора
Длина вектора \(\vec{a} = (x; y)\) вычисляется по формуле:
Это следует из теоремы Пифагора: вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(x\) и \(y\).
Найдите длину вектора \(\vec{a} = (3; 4)\).
Решение: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
📐 Расстояние между точками
Длина вектора \(\vec{AB}\) равна расстоянию между точками A и B: \(AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
🔢 Единичный вектор
Вектор, длина которого равна 1. Любой ненулевой вектор можно превратить в единичный, разделив его на свою длину: \(\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)
Операции с векторами
С векторами можно выполнять различные операции: сложение, вычитание, умножение на число.
1. Сложение векторов
Геометрически: по правилу треугольника или параллелограмма.
Аналитически: \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)\)
2. Вычитание векторов
Геометрически: \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)
Аналитически: \(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)\)
3. Умножение вектора на число
При умножении вектора на число \(k\):
- Длина умножается на \(|k|\)
- Направление сохраняется, если \(k > 0\), и меняется на противоположное, если \(k < 0\)
Даны векторы \(\vec{a} = (2; 3)\) и \(\vec{b} = (1; -2)\). Найдите:
а) \(\vec{a} + \vec{b} = (2+1; 3+(-2)) = (3; 1)\)
б) \(\vec{a} - \vec{b} = (2-1; 3-(-2)) = (1; 5)\)
в) \(3\vec{a} = (3\cdot2; 3\cdot3) = (6; 9)\)
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов — это число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
В координатной форме:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) (коммутативность)
- \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\) (дистрибутивность)
- \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
- \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)
📐 Угол между векторами
\(\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\)
⊥ Перпендикулярные векторы
Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
∥ Коллинеарные векторы
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: \(\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\) (при \(x_2 \neq 0, y_2 \neq 0\))
Даны векторы \(\vec{a} = (2; 3)\) и \(\vec{b} = (4; -1)\). Найдите:
а) Скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\cdot4 + 3\cdot(-1) = 8 - 3 = 5\)
б) Угол между векторами: \(\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{2^2+3^2} \cdot \sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} \approx \frac{5}{14.87} \approx 0.336\)
\(\alpha \approx \arccos(0.336) \approx 70.4^\circ\)
Типовые задачи ОГЭ на векторы и координаты
1️⃣ Задача 1 (базовая)
Условие: Даны точки A(1;2), B(4;6). Найдите координаты вектора \(\vec{AB}\) и его длину.
Решение: \(\vec{AB} = (4-1; 6-2) = (3;4)\)
\(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)
2️⃣ Задача 2 (сложение)
Условие: Даны векторы \(\vec{a} = (2;-3)\), \(\vec{b} = (-1;4)\). Найдите координаты вектора \(2\vec{a} - 3\vec{b}\).
Решение: \(2\vec{a} = (4;-6)\), \(3\vec{b} = (-3;12)\)
\(2\vec{a} - 3\vec{b} = (4-(-3); -6-12) = (7; -18)\)
3️⃣ Задача 3 (скалярное произведение)
Условие: Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{p} = (5;2)\) и \(\vec{q} = (-3;4)\).
Решение: \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 5\cdot(-3) + 2\cdot4 = -15 + 8 = -7\)
4️⃣ Задача 4 (геометрическая)
Условие: Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) перпендикулярны. Найдите \(x\), если \(\vec{m} = (3;x)\), \(\vec{n} = (2;-6)\).
Решение: Условие перпендикулярности: \(3\cdot2 + x\cdot(-6) = 0\)
\(6 - 6x = 0\) ⇒ \(6x = 6\) ⇒ \(x = 1\)
Калькулятор векторов
Выполните вычисления с векторами онлайн: