Что такое арифметическая и геометрическая прогрессии?
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии (обозначается d).
Формула n-го члена: an = a1 + d(n-1)
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначается q).
Формула n-го члена: bn = b1 · qn-1
Все формулы арифметической и геометрической прогрессий
n-й член прогрессии: an — n-й член, a1 — первый член, d — разность, n — номер члена.
2
Сумма первых n членов: Sn — сумма, a1 — первый член, an — n-й член, n — количество членов.
2
Альтернативная формула суммы: Когда неизвестен последний член.
2
Свойство любого члена: Каждый член (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому соседних членов.
- 📌 Разность прогрессии: d = an - an-1
- 📌 Если d > 0 — прогрессия возрастающая
- 📌 Если d < 0 — прогрессия убывающая
- 📌 Если d = 0 — все члены равны
- 📌 Характеристическое свойство: 2an = an-1 + an+1
Калькулятор прогрессий
Введите известные параметры прогрессии, и калькулятор вычислит неизвестные. Выберите тип прогрессии:
Примеры задач из ОГЭ с решениями
Разберём типовые задачи на прогрессии, которые встречаются в ОГЭ по математике.
Условие: В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Найдите сумму первых восьми членов.
1. Найдем восьмой член: a₈ = a₁ + d(8-1) = 5 + 3·7 = 5 + 21 = 26
2. Сумма первых 8 членов: S₈ = (a₁ + a₈)·8/2 = (5 + 26)·4 = 31·4 = 124
Ответ: 124
Условие: В геометрической прогрессии b₁ = 2, q = 3. Найдите пятый член прогрессии.
b₅ = b₁ · q⁴ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
Ответ: 162
Условие: Вкладчик положил в банк 10000 рублей под 10% годовых. Какой будет сумма вклада через 3 года, если проценты начисляются ежегодно и капитализируются?
Это задача на геометрическую прогрессию:
b₁ = 10000 (начальный вклад)
q = 1 + 10/100 = 1.1 (коэффициент роста)
Через 3 года: b₄ = b₁ · q³ = 10000 · 1.1³ = 10000 · 1.331 = 13310
Ответ: 13310 рублей
Условие: Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма этих чисел равна 15, а сумма их квадратов равна 83. Найдите эти числа.
Пусть числа: a-d, a, a+d (свойство арифметической прогрессии)
1. Сумма: (a-d) + a + (a+d) = 3a = 15 ⇒ a = 5
2. Сумма квадратов: (5-d)² + 5² + (5+d)² = 83
(25 - 10d + d²) + 25 + (25 + 10d + d²) = 83
75 + 2d² = 83 ⇒ 2d² = 8 ⇒ d² = 4 ⇒ d = ±2
Ответ: 3, 5, 7 или 7, 5, 3
Тренажёр для самостоятельного решения
Решите задачи и проверьте свои ответы. Задачи генерируются случайным образом.
Сравнение арифметической и геометрической прогрессий
Важно понимать различия между двумя типами прогрессий, чтобы правильно применять формулы при решении задач.
| Параметр | Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
|---|---|---|
| Определение | Разность соседних членов постоянна | Отношение соседних членов постоянно |
| Обозначение | a₁, a₂, a₃, ... | b₁, b₂, b₃, ... |
| Параметр | Разность d | Знаменатель q |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + d(n-1) | bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Формула суммы | Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 | Sₙ = b₁·(qⁿ - 1)/(q - 1) |
| Характеристическое свойство | 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁ | bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ |
| Примеры в жизни | Ежемесячные накопления, температура при равномерном нагреве | Банковские вклады с %, рост популяции, цепная реакция |
📊 Как определить тип прогрессии?
1. Проверьте разность: Если a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = d, то это арифметическая прогрессия.
2. Проверьте отношение: Если b₂/b₁ = b₃/b₂ = ... = q, то это геометрическая прогрессия.
3. Обратите внимание на рост: Арифметическая прогрессия растет линейно, геометрическая — экспоненциально.