Теоретические основы: неравенства и их свойства
Что такое неравенство?
Неравенство — это математическое выражение, содержащее знаки сравнения: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно).
— линейное неравенство
— квадратное неравенство
Основные свойства неравенств
1️⃣ Сложение/вычитание
Если a > b, то a + c > b + c и a - c > b - c для любого числа c.
2️⃣ Умножение/деление
Если a > b и c > 0, то ac > bc и a/c > b/c.
Если a > b и c < 0, то ac < bc и a/c < b/c (знак меняется!).
3️⃣ Переход к обратным
Если a > b > 0, то 1/a < 1/b.
Если a < b < 0, то 1/a > 1/b.
4️⃣ Возведение в квадрат
Если a > b ≥ 0, то a² > b².
Если a < b ≤ 0, то a² > b².
Виды неравенств в ОГЭ
| Тип неравенства | Общий вид | Номер в ОГЭ | Макс. балл |
|---|---|---|---|
| Линейные | kx + b > 0 (или <, ≥, ≤) | №1-5, №13 | 1 балл |
| Квадратные | ax² + bx + c > 0 | №13, №20 | 1-2 балла |
| Дробно-рациональные | P(x)/Q(x) > 0 | №13, №21 | 2 балла |
| Системы неравенств | { f₁(x) > 0, f₂(x) ≥ 0 } | №13, №21 | 2 балла |
| Неравенства с модулем | |x - a| < b | №13 (повышенная сложность) | 2 балла |
Линейные неравенства: алгоритм решения
Линейное неравенство — неравенство вида kx + b > 0 (или с другими знаками сравнения). Решается аналогично линейному уравнению, но с учётом смены знака при умножении/делении на отрицательное число.
Перенос слагаемых
Все слагаемые с переменной собираем в левой части, числа — в правой.
Приведение подобных
Упрощаем обе части неравенства.
Деление на коэффициент
Делим обе части на коэффициент при x. Если коэффициент отрицательный — меняем знак неравенства!
Запись ответа
Ответ записываем в виде промежутка или неравенства.
Введите ответ в виде промежутка (например: (3; +∞) или (-∞; 5]):
Квадратные неравенства: метод интервалов
Квадратное неравенство — неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤). Решается с помощью метода интервалов после нахождения корней квадратного уравнения.
Приравниваем к нулю
Рассматриваем соответствующее квадратное уравнение.
Находим корни
Решаем квадратное уравнение через дискриминант.
Рисуем схему
Отмечаем корни на числовой прямой и определяем знаки на промежутках.
Корни: x = 2, x = 3. Интервалы: (-∞; 2), (2; 3), (3; +∞)
Выбираем промежутки
Так как неравенство строгое (> 0), выбираем интервалы со знаком "+".
Введите ответ в виде промежутка:
Системы неравенств: решение и ОДЗ
Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решением системы является пересечение решений всех неравенств.
Алгоритм решения системы
- Решить каждое неравенство системы отдельно.
- Изобразить решения на числовой прямой.
- Найти пересечение решений (общую часть).
- Записать ответ в виде промежутка или системы.
Пример системы
{ x + 3 ≤ 7
Решаем каждое неравенство
Находим пересечение
x > 2 (открытая точка на 2) и x ≤ 4 (закрашенная точка на 4)
Пересечение: (2; 4]
{ -x + 5 > 0
Введите ответ в виде промежутка:
Интерактивный калькулятор неравенств
Проверьте правильность решения вашего неравенства или решите новое с помощью этого калькулятора. Внимание: калькулятор демонстрирует логику решения, но на реальном ОГЭ использовать его нельзя!
Решение
Типовые задания ОГЭ по теме "Неравенства"
| № задания | Тип задачи | Пример | Ответ | Балл |
|---|---|---|---|---|
| №1 | Простое линейное неравенство | 3x - 5 > 1 | x > 2 | 1 |
| №2 | Неравенство с дробями | (x/2) + 1 ≤ 4 | x ≤ 6 | 1 |
| №3 | Неравенство со скобками | 2(x - 3) ≥ x + 1 | x ≥ 7 | 1 |
| №4 | Двойное неравенство | -2 < 3x + 1 < 7 | -1 < x < 2 | 1 |
| №5 | Выбор решения из вариантов | Какое число является решением неравенства 4 - x > 2? | 1 | 1 |
| №13 | Система неравенств | { 2x + 1 > 3 { 5 - x ≥ 1 |
1 < x ≤ 4 | 2 |
| №20 | Квадратное неравенство | x² - 4x + 3 ≤ 0 | [1; 3] | 2 |
{ x + 4 ≥ 1