Основы систем счисления
Система счисления — это способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр) по определённым правилам.
Разряд — позиция цифры в числе.
Алфавит системы — набор всех цифр системы.
🎯 Основные виды систем счисления
Формула позиционного представления числа
где p — основание системы, ai — цифры числа
| Система | Основание | Алфавит | Пример |
|---|---|---|---|
| Двоичная | 2 | 0, 1 | 10112 = 1110 |
| Восьмеричная | 8 | 0-7 | 758 = 6110 |
| Десятичная | 10 | 0-9 | 12310 |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0-9, A-F | 1A316 = 41910 |
Двоичная система счисления
Двоичная система — система с основанием 2. Использует только две цифры: 0 и 1. Является основной для представления данных в компьютерах.
🔢 Особенности двоичной системы
- Основание: 2
- Цифры: 0 и 1
- Каждый разряд называется битом
- 8 бит = 1 байт
- Используется в логических схемах
- Позволяет использовать булеву алгебру
💡 Преимущества
- Простота технической реализации
- Надёжность (только два состояния)
- Минимум элементов для хранения
- Удобство для логических операций
- Универсальность для компьютеров
Таблица степеней двойки
| Степень | Значение | Двоичное представление | Применение |
|---|---|---|---|
| 20 | 1 | 1 | Младший бит |
| 21 | 2 | 10 | Флаги, маски |
| 22 | 4 | 100 | Кодирование цветов |
| 23 | 8 | 1000 | Байт (8 бит) |
| 24 | 16 | 10000 | Полубайт (ниббл) |
| 28 | 256 | 100000000 | Диапазон байта |
| 210 | 1024 | 10000000000 | Килобайт (КБ) |
| 216 | 65536 | 1 followed by 16 zeros | WORD в программировании |
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система — система с основанием 8. Использует цифры от 0 до 7. Тесно связана с двоичной системой (1 цифра восьмеричной = 3 битам).
Пример: 58 = 1012, 78 = 1112
Визуализация связи двоичной и восьмеричной систем
📝 Пример для ЕГЭ: Переведите число 3478 в двоичную систему.
Решение: Каждую цифру переводим в 3 бита: 38 = 0112, 48 = 1002, 78 = 1112. Получаем 0111001112 = 111001112.
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система — система с основанием 16. Использует цифры 0-9 и буквы A-F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Широко применяется в программировании и веб-дизайне.
| Десятичное | Шестнадцатеричное | Двоичное (4 бита) | Применение |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0000 | Начало отсчёта |
| 1 | 1 | 0001 | Младший бит |
| 9 | 9 | 1001 | Десятичная цифра |
| 10 | A | 1010 | Первая буква |
| 15 | F | 1111 | Максимум 4 бита |
| 16 | 10 | 00010000 | Основание системы |
| 255 | FF | 11111111 | Максимум байта |
| 4096 | 1000 | 1 followed by 12 zeros | 4КБ в памяти |
Пример: A16 = 10102, F16 = 11112, 1F16 = 000111112
🎨 Применение в веб-дизайне
Шестнадцатеричная система используется для задания цветов в HTML/CSS в формате RGB:
- #FFFFFF — белый цвет (R=255, G=255, B=255)
- #FF0000 — красный цвет (R=255, G=0, B=0)
- #00FF00 — зелёный цвет (R=0, G=255, B=0)
- #0000FF — синий цвет (R=0, G=0, B=255)
- #000000 — чёрный цвет (R=0, G=0, B=0)
Алгоритмы перевода между системами
Из любой в десятичную
Используем формулу разложения по основанию: Ap = an·pn + ... + a0·p0
Из десятичной в любую
Последовательно делим число на основание новой системы, записывая остатки в обратном порядке
Двоичная ↔ Восьмеричная
Группируем биты по 3 (справа налево) и заменяем на восьмеричные цифры
Двоичная ↔ Шестнадцатеричная
Группируем биты по 4 (справа налево) и заменяем на шестнадцатеричные цифры
Интерактивный переводчик систем счисления
Пошаговые примеры перевода
Пример 1: Из десятичной в двоичную
Задача: Перевести 2910 в двоичную систему.
14 ÷ 2 = 7 (остаток 0)
7 ÷ 2 = 3 (остаток 1)
3 ÷ 2 = 1 (остаток 1)
1 ÷ 2 = 0 (остаток 1)
Ответ: Читаем остатки снизу вверх: 111012.
Пример 2: Из двоичной в шестнадцатеричную
Задача: Перевести 1101101012 в шестнадцатеричную систему.
2. Переводим каждую группу:
00012 = 116
10112 = B16
01012 = 516
Ответ: 1B516.
Арифметические операции в разных системах
Выполнение арифметических операций в недесятичных системах счисления аналогично десятичной, но с учётом основания системы.
| Операция | Правило | Пример (двоичная) | Результат |
|---|---|---|---|
| Сложение | 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (0 и 1 в перенос) | 10112 + 11012 | 110002 |
| Вычитание | 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 0-1=1 (с заёмом) | 11012 - 10112 | 00102 |
| Умножение | Аналогично десятичному, но: 0×0=0, 0×1=0, 1×0=0, 1×1=1 | 1012 × 112 | 11112 |
| Деление | Аналогично десятичному делению в столбик | 11012 ÷ 102 | 1102 (остаток 1) |
💡 Стратегия решения задач ЕГЭ
1. Переведите все числа в одну систему (обычно десятичную)
2. Выполните операции в этой системе
3. Переведите результат обратно в требуемую систему
Или: Выполняйте операции непосредственно в заданной системе, помня о переносах и заёмах.
Пример сложения в шестнадцатеричной системе
➕ Сложение: A716 + 3B16
Шаг 1: Сложение младших разрядов
7 + B = 7 + 11 = 18 = 1216 (2 пишем, 1 в перенос)
Шаг 2: Сложение старших разрядов с переносом
A + 3 + 1 = 10 + 3 + 1 = 14 = E16
Ответ: A716 + 3B16 = E216
Интерактивные задания
Закрепите теорию на практике. Решите задания, проверьте ответы и получите объяснения.
Перевод из двоичной в десятичную
Условие: Переведите двоичное число 1101012 в десятичную систему счисления.
Выберите правильный ответ:
Перевод из десятичной в восьмеричную
Условие: Переведите десятичное число 94 в восьмеричную систему счисления.
Выберите правильный ответ:
Сложение в двоичной системе
Условие: Выполните сложение двоичных чисел: 10112 + 11012
Выберите правильный ответ:
Перевод в шестнадцатеричную систему
Условие: Переведите двоичное число 111010112 в шестнадцатеричную систему.
Выберите правильный ответ:
Тест на определение уровня подготовки
Пройдите тест из 10 вопросов, чтобы оценить свой текущий уровень по теме «Системы счисления» и получить персональные рекомендации.
Вопросы соответствуют формату ЕГЭ 2026 года по информатике.