Основы математической логики
Математическая логика — раздел математики, изучающий логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения (истина, ложь). Основателем алгебры логики является английский математик Дж. Буль (1815–1864).
🎯 Ключевые понятия математической логики
Логические высказывания
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно.
| Тип высказывания | Пример | Значение истинности |
|---|---|---|
| Истинное высказывание | «3 × 3 = 9» | Истина (1) |
| Ложное высказывание | «5 < 3» | Ложь (0) |
| Не является высказыванием | «Какой красивый день!» | Неопределено |
| Логическая переменная | A, B, C, x, y, z | Может быть 0 или 1 |
📝 Важно для ЕГЭ: В задачах ЕГЭ по информатике используются логические переменные, которые могут принимать только два значения: 0 (ложь) или 1 (истина). Логические операции выполняются над этими переменными.
Логические операции
Логическая операция — действие над логическими высказываниями, в результате которого получается новое логическое высказывание.
Основные логические операции
Отрицание (НЕ) Унарная
Обозначения: ¬A, ¬A, Ā, NOT A
Инвертирует значение: если A истинно, то ¬A ложно, и наоборот.
| A | ¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Конъюнкция (И) Бинарная
Обозначения: A ∧ B, A ⋅ B, A & B, A and B
Истинна только когда оба операнда истинны.
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Дизъюнкция (ИЛИ) Бинарная
Обозначения: A ∨ B, A + B, A or B
Истинна когда хотя бы один операнд истинен.
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Импликация (ЕСЛИ..., ТО...) Бинарная
Обозначения: A→B, A⇒B, A⊃B
Ложна только когда A истинно, а B ложно.
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Эквиваленция (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) Бинарная
Обозначения: A↔B, A⇔B, A≡B
Истинна когда оба операнда имеют одинаковые значения.
| A | B | A↔B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Исключающее ИЛИ (XOR) Бинарная
Обозначения: A ⊕ B, A ∨ ∨ B
Истинна когда операнды имеют разные значения.
| A | B | A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
2. Конъюнкция (И, ∧) — выполняется вторым
3. Дизъюнкция (ИЛИ, ∨) — выполняется третьим
4. Импликация (→) — выполняется четвёртым
5. Эквиваленция (↔) — выполняется последней
Для изменения порядка используются скобки
Таблицы истинности
Таблица истинности — удобный способ представить и проанализировать, как изменяется результат логической операции в зависимости от значений входных высказываний.
2. Найдите число строк: для n переменных потребуется 2n строк
3. Заполните колонки переменных: создайте отдельные колонки для каждой переменной
4. Вычислите промежуточные результаты: добавьте столбцы для промежуточных операций
5. Рассчитайте итоговое выражение: определите значение итогового выражения для каждой строки
6. Проверьте правильность: убедитесь, что все комбинации учтены правильно
Пример построения таблицы истинности
Построим таблицу истинности для выражения: F = (A ∧ ¬B) ∨ C
| A | B | C | ¬B | A ∧ ¬B | F = (A ∧ ¬B) ∨ C |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
💻 Интерактивный тренажёр таблиц истинности
Постройте таблицу истинности для логического выражения. Выберите операцию и введите выражение.
Введите параметры:
Количество переменных (2-4):
Логическое выражение:
Используйте: A, B, C, D, ∧ (И), ∨ (ИЛИ), ¬ (НЕ), → (импликация), ↔ (эквиваленция)
Результат:
Введите выражение и нажмите "Построить таблицу истинности"...
Законы алгебры логики
Законы алгебры логики — тождества, которые позволяют упрощать логические выражения и преобразовывать их к более простому виду.
Основные законы алгебры логики
🎯 Применение законов логики в ЕГЭ
Знание законов логики позволяет:
- Упрощать сложные логические выражения для более лёгкого анализа
- Преобразовывать выражения к удобному для решения виду
- Проверять эквивалентность различных логических выражений
- Решать задачи на определение значения логического выражения
Пример упрощения: ¬(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = ¬A ∨ ¬B ∨ (A ∧ ¬B) = ¬A ∨ ¬B (по закону поглощения)
Методы решения задач ЕГЭ по логике
В ЕГЭ по информатике задачи на логику можно решать двумя основными способами: ручным методом (логические рассуждения) и программированием (перебор всех вариантов).
Ручной метод (логические рассуждения)
Анализ выражения, определение условий истинности/ложности, подбор значений переменных.
Программирование (перебор вариантов)
Написание программы на Python для перебора всех комбинаций переменных и проверки условий.
Комбинированный подход
Использование логических рассуждений для уменьшения перебора, затем проверка программой.
Пример решения задачи ручным методом
📝 Задача из ЕГЭ (адаптировано)
Условие: Логическая функция F задаётся выражением (x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ w. Дан частично заполненный фрагмент таблицы истинности, содержащий неповторяющиеся строки, где F = 0. Определите, какому столбцу соответствует каждая переменная.
Решение ручным методом:
- Выражение F = 0, когда все три части равны 0: (x ∧ ¬y) = 0, (y ≡ z) = 0, w = 0
- Из w = 0 следует, что w соответствует столбцу, где во всех строках 0
- Анализируем (y ≡ z) = 0: это означает, что y и z должны быть разными
- Анализируем (x ∧ ¬y) = 0: если ¬y = 1, то x должно быть 0
- Сопоставляем с данными в таблице и находим соответствие: yxwz
Пример решения задачи программированием
print('x y z w')
for x in range(2):
for y in range(2):
for z in range(2):
for w in range(2):
F = (x and not y) or (y == z) or w
if F == 0:
print(x, y, z, w)
Программа выводит все комбинации x, y, z, w, при которых F = 0. Сопоставляем с данными в таблице из условия и определяем соответствие переменных столбцам.
🔧 Сравнение методов
| Метод | Преимущества | Недостатки |
|---|---|---|
| Ручной | Не требует программирования, развивает логическое мышление | Легко ошибиться, медленнее для сложных выражений |
| Программирование | Точно, быстро, подходит для любых выражений | Требует знания Python, возможность синтаксических ошибок |
Рекомендация для ЕГЭ: Изучите оба метода! На экзамене используйте тот, который вам удобнее. Программирование даёт гарантированно правильный ответ, но требует внимательности при написании кода.
Интерактивные задания по математической логике
Закрепите теорию на практике. Решите задания, проверьте ответы и получите объяснения.
Определите значение логического выражения
Условие: «Чему равно значение выражения ¬(1 ∨ 0) ∧ (1 → 0)?»
Выберите правильный ответ:
Упростите логическое выражение
Условие: «Упростите выражение: ¬(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)»
Выберите упрощённый вариант:
Определите количество строк в таблице истинности
Условие: «Сколько строк будет в полной таблице истинности для выражения, содержащего 5 различных логических переменных?»
Выберите правильный ответ:
Тест на определение уровня подготовки
Пройдите тест из 10 вопросов, чтобы оценить свой текущий уровень по теме «Математическая логика» и получить персональные рекомендации.
Вопросы соответствуют формату ЕГЭ 2026 года по информатике.